(puc-sp) em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e, desde enrtão, sua produção tem crescido á taxa de 20% ao ano. nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996? (dados log 2: 0,30 log 3: 0,48)

100% + 20% = 120% = 1,2

O crescimento é uma funçao exponencial do tipo.

y = 6000 ( 1,2 ) ^ t

devemos ter o triplo entao

y = 3 × 6000 = 18000

18000 = 6000 ( 1,2)^t

18000 / 6000 = (1,2)^t

3 = (1,2)^t

log3 = log ( 1,2)^t

log3 = t log ( 1,2)

log3 = t log ( 12 / 10 )

log3 = t ( log 12 - log 10 )

como log 10 = 1

log3 = t ( log12 - 1 )

log3 = t log ( 4 × 3 ) - t

log3 = t ( log4 + log3 ) - t

log3 = t log 4 + t log3 - t

log3 = t log2^2 + t log3 - t

log3 = 2t log2 + t log3 - t

0,48 = 2t (0,30) + t(0,48) - t

0,48 = 0,60t + 0,48t - t

0,48 = 1,08t - t

0,48 = 0,08t

t = 0,48 / 0,08

t = 48 / 8

t = 6 anos depois

1996 + 6 = 2002

resp: no ano de 2002

Podemos montar a seguinte equação:

A taxa de 20% é equivalente a 20/100, logo:

Logo esta produção foi atingida em 1996 + 6 = 2002 (Letra E)

Podemos montar esse logaritmo utilizando a fórmula de juros compostos:

ou seja,

Como a produção em 1996 foi de 6000, então o triplo é 3.6000 = 18000.

Assim,

Utilizando as propriedades de logarítmo:

Como , então:

log(3) = n.(log(12) - log(10))

Podemos calcular log(12) da seguinte maneira:

log(12) = log(2².3) = 2log(2) + log(3)

Como log(2) = 0,30 e log(3) = 0,48, então podemos afirmar que:

log(12) = 2.0,3 + 0,48

log(12) = 1,08

Por definição, log(10) = 1.

Logo,

0,48 = n(1,08 - 1)

0,48 = 0,08n

n = 6

Portanto, a produção será igual ao triplo da de 1996 em 1996 + 6 = 2002.