A integral de linha em que C é o segmento de reta, Segue imagem abaixo

Calcular a integral de linha



Sendo o segmento de reta que liga os pontos a

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Parametrizando o segmento de reta:



Então, temos as equações para métricas da curva



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Encontrando o vetor tangente



Para o cálculo desta integral de linha, só nos interessa o módulo do vetor tangente:



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Montando o cálculo da integral de linha, temos



Bons estudos! :-)

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Calcular a integral de linha de uma função sobre uma curva parametrizada:

    

sendo  C  o segmento de reta descrito pelas equações paramétricas:

    

Reescreva a integral de linha, substituindo  x  e  y  pelas expressões dadas nas equações paramétricas,  onde  ds  é a notação para o módulo do vetor tangente à curva:

    

    

    

resposta:  alternativa  c.  5,00.

Bons estudos! :-)

Temos o campo vetorial dado por:

F(x,y,z) = Cos(x)i +xzj + xyk

Onde,

C é  segmento que une o ponto (0,11) a (2,1,2) nesse sentido.

Achando o vetor direto da reta:



Sabemos que a equação de uma reta é dada da seguinte maneira:



Onde, xo, yo e zo é qualquer ponto pertencente a reta.

Já (a,b,c) é o vetor diretor. 

Desse modo, escolhendo o ponto inicial para xo , yo e zo, teremos:



Reescrevendo na forma paramétrica

x(t) = 2t

y(t) = 1

z(t) = 1+ t
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Repare que x(t) começa em x = 0 , e termina em x = 2, de acordo com os pontos.

x(t) = 2t

0 = 2t

t = 0
----------------

x(t) = 2t

2 = 2t

t = 1
---------------

Ou seja,



Agora, basta substituir a parametrização no campo.

F(x, y, z) =  Cos(x)i +xzj + xyk

F(x(t), y(t), z(t) ) = Cos(2t)i +2t(1+t)j + 2t.1k

F((xt), y(t), z(t) ) = Cos(2t)i + (2t+2t²)j + 2tk
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Nossa integral era desse formato:

∫  F(x,y,z)dr = ∫  (Cosx dx + xzdy + xydz)
c                     c

Repare que falta calcularmos dx, dy e dz

x(t) = 2t

dx/dt = 2

dx = 2dt
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y(t) = 1

dy/dt = 0

dy = 0
-------------------------

z(t) = 1+t

dz/dt = 1

dz = dt
-------------------------

Substituindo todas informações na integral:

∫ Cos(2t).2dt + (2t+2t²).0 + 2t.1dt
c

∫ (2Cos(2t) + 2t)dt
c

lembrando que "t" varia de 0 a 1, teremos: