ABCDE representa um pentágono regular e ABP um triângulo eqüilátero. Qual é a medida do ângulo BCP?

Ângulo externo = 360/5 = 72
ângulo interno = 180-72 = 108º

Pentágono regular ⇒ Lados iguais !

Como todos os lados são iguais, todos os ângulos entre eles são iguais também. Assim, podemos usar a fórmula :

α = (n - 2) * 180 / n

α → Medida de cada ângulo do pentágono regular;
n → Número de lados : Como é o pentágono, então n = 5 

α = (5 - 2) * 180 / 5

α = 3 * 36

α = 108° ⇒ Medida de cada ângulo desse pentágono ! (lembrando que ele é regular)...

Cada ângulo azul mede 108°. Cada um desses ângulos forma, junto com cada ângulo "que falta" do triângulo, 180°. Logo, cada ângulo 'y' "que falta" do triângulo vale :

108° + y = 180°

y = 180° - 108°

y = 72° 

Por fim, os três ângulos internos do triângulos somam-se em 180°. Temos 2 * y (um em cima e um embaixo) e x. Logo :

2 * y + x = 180° ⇒ Sendo y = 72° :

2 * 72 + x = 180°

144° + x = 180°

x = 180° - 144°

x = 36°⇒ Valor do ângulo DFE !

Vamos la 
 
Soma dos angulos internos ⇒ S = ( 5 - 2 ) × 180 ⇒ 3 × 180 = 540°. 

Como a soma dos angulos deu 540°, iremos dividir esse resultado pela quantidade de lados da figura ⇒  540/5 = 108°  ∴  cada angulo vale 108°.
 
O angulo de vértice A está dividido em 3 partes, chamando-as de X, 2X e 3X  somando esses 3 valores implicara que ⇒ x + 2x + 3x = 108° ⇒ 6x = 108° 
⇒ x = 108°/6 ⇒ x = 18°  ∴  2x = (2×18) = 36° e 3x = (3×18) = 54°