Matemática, 12.06.2021 19:30 clara2018

Calcule o comprimento do arco da curva dada por;

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Resposta de: clara2018

A fórmula para o cálculo do comprimento de arco do gráfico de uma função y = f(x) sobre um intervalo [a, b] é

$\mathsf{L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+\big[f'(x)\big]^2}\,dx}$

onde f'(x) denota a 1ª derivada de f em relação à variável x.

Para esta tarefa temos

$\mathsf{f(x)=3x+5}$

e queremos calcular o comprimento do arco do gráfico de f(x) sobre o intervalo [0, 2]. O comprimento procurado é

$\mathsf{L=\displaystyle\int_0^2\sqrt{1+\big[(3x+5)'\big]^2}\,dx}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad L=\displaystyle\int_0^2\sqrt{1+\big[3\big]^2}\,dx}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad L=\displaystyle\int_0^2\sqrt{1+9}\,dx}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad L=\displaystyle\int_0^2\sqrt{10}\,dx}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad L=\displaystyle\sqrt{10}\int_0^2\,dx}$

$\mathsf{\Longleftrightarrow\quad L=\displaystyle\sqrt{10}\cdot x\Big|_0^2}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad L=\displaystyle\sqrt{10}\cdot (2-0)}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad L=2\displaystyle\sqrt{10}~~u.c.\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Resposta de: marinatagomori

dx/dt=3

dy/dt=3*t^(1/2)

Então:

C =de 0 a 1 ∫√[ (dx/dt)² + (dy/dt)² ] dt

C =de 0 a 1 ∫√[ (3)² + (3*t^(1/2))² ] dt

C =de 0 a 1 ∫√[ 9 + 9t ] dt

Substitua 9+9t =u ==> 9dt=du

C =de 0 a 1 ∫√[u] dt/9

C= de 0 a 1 [(u^(3/2))/(3/2) ] /9

C= de 0 a 1 [(2/27)*(u^(3/2)) ]

Como u =9+9t

C= de 0 a 1 [(2/27)*((9+9t)^(3/2)) ]

= [(2/27)*((9+9*1)^(3/2)) ] - [(2/27)*((9+9*0)^(3/2)) ]

= [(2/27)*((18)^(3/2)) ] - [(2/27)*((9)^(3/2)) ]

= [(2/27)*((3√2)^(3)) ] - [(2/27)*(27) ]

[(2/27)*((27√2³)) ] - 2 ]

(2)*(√2³) - 2 = 4√2 -2 Letra D

Resposta de: yagolds1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de comprimento de arcos utilizando integrais.

Seja a curva gerada pelo gráfico da função $y=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{\ln(x)}{4}$ . Devemos calcular o comprimento do arco da curva no intervalo fechado $2\leq x\leq 4$ .

Lembre-se que o comprimento de um arco da curva y=y(x) , contínua em um intervalo fechado [a,~b] é calculado pela integral: $\displaystyle{\int_C \,ds=\int_a^b\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ .

Então, diferenciamos ambos os lados da igualdade, de modo a encontrarmos $\dfrac{dy}{dx}$ :

$(y)'=\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{\ln(x)}{4}\right)'$

Lembre-se que:

A derivada implícita de função é calculada pela regra da cadeia: $y'=\dfrac{dy}{dx}$ .A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.A derivada do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$ .A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$ ^.A derivada da função logaritmo natural é dada por: $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$ .

Aplicando estas regras, facilmente teremos:

$\dfrac{dy}{dx}=x-\dfrac{1}{4x}$

Substituindo este resultado na integral, temos:

$\displaystyle{\int_2^4\sqrt{1+\left(x-\dfrac{1}{4x}\right)^2}\,dx$

Faça uma substituição $x-\dfrac{1}{4x}=\tan(\alpha)$

Ao resolvermos esta equação para a variável , facilmente encontramos:

$x=\dfrac{\tan(\alpha)+\sec(\alpha)}{2}$

Diferenciamos ambos os lados da igualdade para encontrarmos o diferencial :

$(x)'=\left(\dfrac{\tan(\alpha)+\sec(\alpha)}{2}\right)'$

Sabendo que $(\tan(\alpha))'=\sec^2(\alpha)\,\dfrac{d\alpha}{dx}$ e $(\sec(\alpha))'=\sec(\alpha)\tan(\alpha)\,\dfrac{d\alpha}{dx}$ , temos:

$1=\dfrac{\sec^2(\alpha)+\sec(\alpha)\tan(\alpha)}{2}\cdot\dfrac{d\alpha}{dx}$

Multiplicando ambos os lados da igualdade pelo diferencial , finalmente teremos:

$dx=\dfrac{\sec^2(\alpha)+\sec(\alpha)\tan(\alpha)}{2}\,d\alpha$

Devemos ainda alterar os limites de integração. Quando $x=2,~\alpha\rightarrow \arctan\left(\dfrac{15}{8}\right)$ e quando $x=4,~\alpha\rightarrow \arctan\left(\dfrac{63}{16}\right)$ .

Substituindo estes resultados na integral, temos:

$\displaystyle{\int_{\biggr{\arctan\left(\frac{15}{8}\right)}}^{\biggr{\arctan\left(\frac{63}{16}\right)}}\sqrt{1+\tan^2(\alpha)}\cdot\dfrac{\sec^2(\alpha)+\sec(\alpha)\tan(\alpha)}{2}\,d\alpha$

Sabendo que $1+\tan^2(\alpha)=\sec^2(\alpha)$ , calculamos o radical e multiplicamos os termos

$\displaystyle{\int_{\biggr{\arctan\left(\frac{15}{8}\right)}}^{\biggr{\arctan\left(\frac{63}{16}\right)}}\sec(\alpha)\cdot\dfrac{\sec^2(\alpha)+\sec(\alpha)\tan(\alpha)}{2}\,d\alpha}\\\\\\ \displaystyle{\int_{\biggr{\arctan\left(\frac{15}{8}\right)}}^{\biggr{\arctan\left(\frac{63}{16}\right)}}\dfrac{\sec^3(\alpha)+\sec^2(\alpha)\tan(\alpha)}{2}\,d\alpha}$

Acompanhe o restante da solução desta questão no PDF em anexo.

Resposta de: wanessa3813

resposta: letra A 2√5u.c.

Explicação passo-a-passo:

Resposta de: rose8299

y=3x+5

x ∈ [0,2]

x=0 ==>y=5 ==> (0,5)

x=2 ==>y=11 ==>(2,11)

d²=(2-0)²+(11-5)²

d²=4+36

d= √40=2√10 unid. de comprimento

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