Matemática, 23.03.2021 04:00 juhbs86544

Calcule se existirem os seguintes limites

- 2x - 4
h) lim
x-2 x3 + 2x2

Calcule se existirem os seguintes limites - 2x - 4h) limx-2 x3 + 2x2

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Resposta de: melissamoraes402

O valor do limite quando x tende a -2 é

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2x-4}{x^3+2x^2} = -\dfrac{1}{2}\\ \\\end{aligned}$}$

Primeiro vamos verificar se há alguma indeterminação no limite.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2x-4}{x^3+2x^2} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2(-2)-4}{(-2)^3+2(-2)^2} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{4-4}{-8+8} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{0}{0} \\ \\\end{aligned}$}$

Chegamos em uma indeterminação do tipo 0/0, há dois métodos usuais para fugir das indeterminações com polinômios.

Teorema de D'Alembert, se P(a) = 0, então o polinômio é divisível por (x-a), ou seja, se a é uma raiz do polinômio, podemos dividí-lo por (x - a)Regra de L'Hôpital, se temos uma indeterminação (0/0 ou ±∞/±∞) e as derivadas das funções f(x) e g(x) existem com g'(x) ≠ 0, então:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\lim_{x \to a} \ & \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\ \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = L \\ \\\end{aligned}$}$

Então vamos resolver a questão utilizando os dois métodos.

Resolução por Teorema de D'Alembert

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2x-4}{x^3+2x^2} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2x-4}{x^3+2x^2}, \text{ divisivel por $(x+2)$}\\ \\\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2(x+2)}{x^2(x+2)} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & -\dfrac{2}{x^2} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & -\dfrac{2}{(-2)^2} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & -\dfrac{2}{4} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & -\dfrac{1}{2} \\ \\\end{aligned}$}$

Logo,

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2x-4}{x^3+2x^2} = -\dfrac{1}{2}\\ \\\end{aligned}$}$

Resolução por Regra de L'Hôpital

Pela regra de derivação temos que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}f(x) &= ax^n\\ \\\dfrac{d}{dx}f(x) &= nax^{n-1}\\ \\ \\\end{aligned}$}$

Portanto:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}f(x) &= -2x - 4\\ \\g(x) &= x^3+2x^2\\ \\ \\f'(x) &= -2 \\ \\g'(x) &= 3x^2 + 4x\end{aligned}$}$

Então podemos substituir o limite por:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2}{3x^2+4x} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2}{3(-2)^2+4(-2)} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2}{12-8} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & -\dfrac{2}{4} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & -\dfrac{1}{2} \\ \\\end{aligned}$}$

Então podemos verificar novamente que

$\Large\displaystyle\text{$\begin{aligned}\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2x-4}{x^3+2x^2} = -\dfrac{1}{2}\\ \\\end{aligned}$}$

Espero ter ajudado,

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Veja mais sobre em:

Calcule se existirem os seguintes limites - 2x - 4h) limx-2 x3 + 2x2

Resposta de: alexandre704

Explicação passo-a-passo:

lim x->0 tg(x)/x

lim x->0 sen(x)/cos(x) * 1/x

lim x->0 sen(x)/x * 1/cos(x)

lim x->0 sen(x)/x é um limite fundamental clássico que é igual a 1 (experimente pesquisar no google sobre "sen(x)/x = 1"

1/cos(0) = 1/1 = 1

Portanto:

lim x->0 sen(x)/x * 1/cos(x) = 1*1 = 1

Bons estudos. ;)

Resposta de: yagolds1

$\sf \lim _{x\to 2}\left(\sqrt{\dfrac{x^3+2x+3}{x^2+5}}\right) = \sqrt{\dfrac{5}{3}}$

Explicação passo-a-passo:

$\sf \lim _{x\to 2}\left(\sqrt{\dfrac{x^3+2x+3}{x^2+5}}\right)$

$\sf \lim _{x\to 2}\left(\sqrt{\dfrac{2^3+2 \cdot 2+3}{2^2+5}}\right)$

$\sf \lim _{x\to 2}\left(\sqrt{\dfrac{8 +4+3}{4 + 5}}\right)$

$\sf \lim _{x\to 2} \sqrt{\dfrac{15}{9}}$

$\sf \lim _{x\to 2} \sqrt{\dfrac{5}{3}}$

Explicação passo-a-passo:

Resposta de: XXXTh

zero

Explicação passo-a-passo:

Primeiro vamos reescrever o limite:

$\lim_{x \to\ 0} \frac{1-cos x}{sen x}$

Se substituirmos x por zero, verificamos que o limite é do tipo 0/0, ou seja, é indeterminado.

Dessa forma, precisamos de alguma maneira sair da indeterminação, assim sendo, multiplicaremos em cima e em baixo por 1 + cos x, daí:

$\lim_{x \to\ 0} \frac{1-cos x}{senx}.\frac{1+cosx}{1+cosx} =\lim_{x \to\ 0} \frac{1-cos^{2}x}{senx(1+cosx)}$

Pela identidade fundamental da trigonometria, temos que:

$sen^{2}x+cos^{2}x =1 = sen^{2}x = 1 - cos^{2} x$ , daí:

$\lim_{x \to\ 0} \frac{1-cos^{2}x}{sen x(1+cosx)} = \lim_{x \to\ 0} \frac{sen^{2} x}{sen x(1+cosx)} = \lim_{x \to \ 0} \frac{sen x}{1+cosx}$

Substituindo x por zero temos:

$\lim_{x \to \ 0} \frac{sen x}{1+cosx} = \frac{sen 0}{1 + cos 0} = \frac{0}{1+1} =0$

Outra maneira:

$\lim_{x \to\ 0} \frac{1-cos x}{sen x} = \lim_{x \to\ 0} \frac{1-cos x}{x}.\frac{x}{senx} =\lim_{x \to\ 0} \frac{1-cos x}{x}.\lim_{x \to\ 0}\frac{x}{senx}$