Considerando que todo polígono convexo pode ser decompostos em triângulos e que a soma de medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, observe a sequência abaixo:

chamando de s, a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono, a expressão que representa a s, de um polígono de n lados é dada por:

a)2n.180°

b)n.180°

c) (n-1).180°

d)(n-2).180°

a) Cada ângulo interno do eneágono mede 140°.

b) Dois ângulos internos medem 40° e dois ângulos internos medem 140°.

a) Como temos que utilizar os nove triângulos presentes no eneágono, podemos usar o argumento: cada ângulo interno do eneágono é o dobro do ângulo da base do triângulo isósceles.

Primeiro, calculamos a medida do ângulo central.

Basta dividirmos 360° por 9.

360° ÷ 9 = 40°

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Logo:

x + x + 40° = 180°

2x + 40° = 180°

2x = 180° - 40°

2x = 140°

x = 140°

       2

x = 70°

O ângulo interno a é o dobro de x. Logo:

a = 2.70°

a = 140°

A medida de um ângulo interno, do eneágono é 140°.

b) No quadrilátero ABCD, os ângulos B e C são ângulos internos do eneágono. Logo, cada um mede 140°.

B = C = 140°

Os ângulos A e D são congruentes.

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°. Logo:

A + D + B + C = 360°

y + y + 140° + 140° = 360°

2y + 280° = 360°

2y = 360° - 280°

2y = 80°

y = 80°

      2

y = 40°

A = D = 40°

a) Como temos que utilizar os nove triângulos presentes no eneágono, podemos dizer que: cada ângulo interno do eneágono é o dobro do ângulo da base do triângulo isósceles.

Primeiro, calculamos a medida do ângulo central.

Basta dividirmos 360° por 9.

360° ÷ 9 = 40°

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Logo:

x + x + 40° = 180°

2x + 40° = 180°

2x = 180° - 40°

2x = 140°

x = 140°

       2

x = 70°

O ângulo interno a é o dobro de x. Logo:

a = 2.70°

a = 140°

A medida de um ângulo interno, do eneágono é 140°.

b) No quadrilátero ABCD, os ângulos B e C são ângulos internos do eneágono. Logo, cada um mede 140°.

B = C = 140°

Os ângulos A e D são congruentes.

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°. Logo:

A + D + B + C = 360°

y + y + 140° + 140° = 360°

2y + 280° = 360°

2y = 360° - 280°

2y = 80°

y = 80°

      2

y = 40°

A = D = 40°

a) Veja a demonstração abaixo

b) ABC = BCD = 140º

BAD = ADC = 40º

Explicação passo-a-passo:

a) O que se pretende é determinar a medida de um ângulo interno, por exemplo, o ângulo GHI (a).

Sabemos que a medida de um ângulo interno de um polígono regular de n lados (a) é dado por:

a = (n - 2) × 180º ÷ n

Neste caso, como n = 9, temos:

a = (9 - 2) × 180º ÷ 9

a = 7 × 180º ÷ 9

a = 1.260 ÷ 9

a = GHI = 140º

Para provar, vamos considerar dois dos 9 triângulos isósceles em que o eneágono está dividido, por exemplo, os triângulos GOH e HOI.

O segmento OH é bissetriz do ângulo GHI (pois GH = HI). Então, o ângulo GHO tem a mesma medida que o ângulo IHO e, como consequência, cada um deles mede a metade do ângulo GHI (a):

GHO = IHO = a/2

Considerando agora o triângulo GHO, temos como soma de seus ângulos internos:

GHO + HGO + HOG = 180º [1]

Os ângulos GHO e HGO têm a mesma medida (a/2), pois o triângulo GHO é isósceles. O ângulo HOG mede 40º (360º/9). Então, substituindo estes valores em [1] temos:

a/2 + a/2 + 40º = 180º

a = 180º - 40º

a = 140º (cqd)

b) No quadrilátero ABCD, temos:

- a soma dos ângulos internos (Si) de um quadrilátero é igual a:

Si = (4 - 2) × 180º

Si = 360º

Neste quadrilátero, temos os ângulos:

ABC = BCD = 140º, como provamos acima na reposta ao item a).

Resta então obter as medidas dos ângulos DAB e ADC.

Sabemos que eles têm a mesma medida, pois o quadrilátero é simétrico com relação à mediatriz da corda AD (ou da bissetriz do ângulo BOC):

DAB = ADC [1]

Então:

ABC + BCD + DAB + ADC = 360º

140º + 140º + DAB + ADC = 360º

DAB + ADC = 360º - 280º

DAB + ADC = 80º

Como DAB = ADC:

DAB + DAB = 80º

2DAB = 80º

DAB = 80º/2

DAB = 40º

ADC = 40º

a)9 lados

b)10 graus

Explicação passo-a-passo:

injfuufujfj9fbjugjogvkirgjo6vko

Observe que no centro do eneágono, os 9 ângulos dos triângulos formam uma circunferência, logo, a soma destes ângulos é igual a 360°, então este ângulo central dos triângulos é igual a:

9x = 360°

x = 40°

Sabe-se também que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, mas note que os triângulos da figura são isósceles, o que significa que os ângulos da base são iguais, assim, temos:

180° = 2y + 40°

2y = 140°

y = 70°

Sabemos que o ângulo a é a soma de dois ângulos y, ou um ângulo interno do eneágono, logo, este ângulo interno mede 140°.

Para o quadrilátero ABCD, note que o triângulo AGD é equilátero, então seus ângulos internos medem 60°. Sabendo que o ângulo externo do eneágono mede 220°, temos que o ângulo DÂB e consequentemente ADB medem:

DÂB = (360° - 220° - 60°)/2

DÂB = 40°

Os ângulos desse quadrilátero são:

DAB = 40°

ADC = 40°

ABC = 140°

BCD = 140°