Considere um triângulo abc tal que a ( 2,4) , b (6,14) e c (2,1). determine:

a) as equações das retas suporte dos três lados desse triângulo

b) as medidas das três alturas desse triângulo

Vamos lá.

Veja, Arydrew, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Tem-se que o triângulo da sua questão tem as seguintes coordenadas dos seus três vértices: A(2; 4); B(6; 14) e C(2; 1).
Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) O coeficiente angular (mab) da reta suporte AB, com A(2; 4) e B(6; 14) será encontrado assim:

mab = (14-4)/(6-2)
mab = (10)/(4) dividindo-se numerador e denominador por "2", teremos:
mab = 5/2 <--- Este é o coeficiente angular da reta suporte AB

Agora vamos encontrar a reta suporte AB, com a utilização do seu coeficiente angular (mab = 5/2). Para isso, utilizaremos a fórmula:

y-y₀ = mab*(x - x₀) assim, elegendo um dos pontos do segmento AB (vamos escolher as coordenadas do ponto A(2; 4) ):

y - 4 = (5/2)*(x-2) veja que isto é a mesma coisa que:
y - 4 = 5*(x-2)/2 multiplicando-se em cruz, teremos:
2*(y-4) = 5*(x-2) efetuando os produtos indicados, temos:
2y-8 = 5x-10 passando todo o 1º membro para o 2º, temos:
0 = 5x - 10 - 2y + 8 ordenando e reduzindo os termos semelhantes:
0 = 5x - 2y - 2 --- ou, o que é a mesma coisa:
5x - 2y - 2 = 0 <--- Esta é a reta suporte do segmento AB.

ii) Agora vamos para a reta suporte do lado BC, com B(6; 14) e C(2; 1).
Assim, calculando o coeficiente angular (mbc) da reta suporte BC, teremos:

mbc = (1-14)/(2-6)
mbc = (-13)/(-4) como na divisão menos com menos dá mais, então temos:
mbc = 13/4 <--- Este é o coeficiente angular da reta BC (mbc = 13/4).

Agora vamos encontrar a reta suporte BC. Vamos escolher o ponto C(2; 1). Assim:

y - 1 = (13/4)*(x-2) ou, o que é a mesma coisa:
y - 1 = 13*(x-2)/4 multiplicando-se em cruz, teremos:
4*(y-1) = 13*(x-2) efetuando os produtos indicados, teremos:
4y-4 = 13x-26 passando todo o 1º membro para o 2º, temos:
0 = 13x-26-4y+4 ordenando e reduzindo os termos semelhantes:
0 = 13x-4y-22 ou, invertendo-se:
13x-4y-22 = 0 <--- Esta é a reta suporte do lado BC.

iii) Finalmente, vamos para reta suporte do lado AC, com A(2; 4) e C(2; 1).
Vamos encontrar o coeficiente angular (mac) da reta suporte AC, com A(2; 4) e C(2; 1). Assim:

mac = (1-4)/(2-2)
mac = (-3)/(0) <--- Note, como não há divisão por zero, então a reta suporte do lado AC será uma função constante e dada por x = 2 (veja que, quando isso ocorre, então a reta será igual à abscissa dos dois pontos, em que ambas são iguais a "2"). Assim, resumindo, temos que a reta suporte do lado AC será:

x = 2 , ou, colocando-se "2" para o 1º membro, temos:
x - 2 = 0 <--- Esta é a reta suporte do lado AC.

Se você quiser, como a reta suporte do lado AC não tem "y", você poderá, se quiser, preencher com zero o coeficiente de "y", com o que ficaríamos assim:

x - 0y - 2 = 0 <--- A reta suporte do lado AC também poderia ser expressa desta forma.

Agora veja, Arydrew, que já gastamos muito espaço para encontrar as três retas suportes dos lados AB, BC e AC. Para encontrar as medidas das três alturas talvez o espaço não seja suficiente. Logo, pedimos que você coloque numa outra mensagem a questão relativa às três alturas, ok?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Vamos lá.
Veja, Arydrew, que, para respondermos a letra "b" desta questão (que pede as medidas das três alturas do triângulo), teremos que ter as equações já vistas na sua mensagem anterior (quando respondemos apenas o item "a").
que as equações de cada lado (lado AB, lado BC e lado AC) foram estas:

5x - 2y - 2 = 0 <--- Esta é a reta suporte do segmento AB.
13x-4y-22 = 0 <--- Esta é a reta suporte do lado BC. 
x - 0y - 2 = 0 <--- Esta é areta suporte do lado AC.

Agora veja: queremos a medida das alturas relativas a cada lado. Para isso, basta que tomemos os pontos de cada vértice e encontremos a distância desse ponto à equação da reta relativa ao lado oposto a esse ponto.

i) Assim, teremos: o ponto A(2; 4) é oposto ao lado BC, cuja equação é esta: 13x-4y-22 = 0;
Assim, vamos aplicar a fórmula da distância (d) um ponto a uma reta, que é dada assim: se você tiver um ponto A(xa; ya) e uma reta Ax+By+C = 0, a distância "d" será:

d = |Axa + Bya + C|/√(A²+B²)

Assim, a distância "d" do ponto A(2; 4) à reta BC, que é: 13x-4y-22 = 0 será:

dbc = |13*2 - 4*4 -22|/√(13²+(-4)²)
dbc = |26 - 16 - 22|/√(169+16)
dbc = |-12|/√(185) como |-12| = 12, teremos:
dbc = 12/√(185) para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(185).Assim:

dbc = 12*√(185)/√(185)*√(185)
dbc = 12√(185)/√(185²) ou apenas:
dbc = 12√(185)/185 <--- Esta é a medida da altura do ponto A ao lado BC.

ii) O ponto B(6; 14) é oposto ao lado AC, cuja equação é esta: x-0y-2 = 0
Como já sabemos (vimos isto no item anterior) encontrar a distância de um ponto a uma reta, então teremos que:

dac = |1*6 - 0*14 - 2|/√(1²+0²)
dac = |6 - 0 - 2|/√(1+0)
dac = |4| / √(1) como |4| = 4 e √(1) = 1, teremos:
dac = 4 / 1
dac = 4 <--- Esta é a medida da altura do ponto B ao lado AC.

iii) Finalmente, o ponto C(2; 1) é oposto ao lado AB, cuja equação é esta: 5x-2y-2 = 0 . Assim, calculando a distância do ponto C à reta 5x-2y-2, teremos;

dab = |5*2 - 2*1 - 2|/√(5²+(-2)²)
dab = |10-2-2|/√(25+4)
dab = |6| / √(29) como |6| = 6, teremos;
dab = 6/√(29) --- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(29). Assim:

dab = 6*√(29) / 29 --- ou apenas:
dab = 6√(29)/29 <--- Esta é a medida da altura do ponto C ao lado AB.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.