Descreva os procedimentos para a discussão de um sistema linear com número de equações diferentes do número de incógnitas

O processo de escalonar uma matriz é uma maneira fácil de resolver um sistema linear. Para tanto é preciso conhecer o conceito de sistemas equivalentes antes apresentado nesta aula também e na sequência o procedimento para escalonar uma matriz.

Vamos lá.

Veja, Azgalor, que a resolução é mais ou menos simples.

i) Pede-se para discutir descrever os procedimentos para discutir um sistema linear com número de equações diferentes do número de incógnitas.

ii) Veja que, quando isso ocorre, geralmente você deixa os valores de cada uma das incógnitas em função de uma única incógnita.

Vamos dar um exemplo: digamos que há o seguinte sistema:

{x + y + z = 0 . (I) .

{2x + 3y + z = 8 . (II) .

iii) Note que no sistema acima há três incógnitas e apenas duas equações. Então faremos o seguinte: procuramos "eliminar" uma das incógnitas para deixar uma equação com apenas duas incógnitas. Em seguida deixamos uma das incógnitas em função de uma outra. Então iremos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão (I) por "-2" e, em seguida, somaremos membro a membro com a expressão (II). Fazendo isso, teremos:

-2x - 2y - 2z = 0 [esta é a expressão (I) multiplicada por "-2"]

2x + 3y + 4z = 8 [esta é a expressão (II) normal]

somando-se membro a membro, teremos:

0 + y + 2z = 8 ou apenas:

y + 2z = 8 passando " "2z" para o 2º membro, temos:

y = 8 - 2z <--- Este é o valor de "y" em função da incógnita "z".

Agora, vamos em quaisquer uma das duas expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos o valor de "y" por"8-2z". Vamos na expressão (I), que é esta:

x + y + z = 0 substituindo-se "y" por "8-2z", teremos:

x + 8-2z + z = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:

x + 8 - z = 0 isolando "x", teremos;

x = z - 8 < Este é o valor de "x" em função de "z".

iv) Assim, iríamos ter o valor de todas as incógnitas e seus valores seriam todos em função de "z". Portanto, os valores de "x", de "y" e de "z" seriam:

x = z - 8

y = 8 - 2z

z = z

Logo, o conjunto-solução seria a terna: S = {z-8; 8-2z; z}.

Assim, e como já informamos antes, os valores das incógnitas iriam depender dos valores que "z" viesse a assumir. Por exemplo:

- para z = 0, iríamos ter que a terna acima iria ser:

S = {z-8; 8-2z; z} = {0-8; 8-2*0; 0} = {-8; 8; 0} <--- Este seria o resultado se "z" assumisse o valor "0".

- para z = 1, iríamos ter que a terna acima iria ser:

S = {z-8; 8-2z; z} = {1-8; 8-2*1; 1} = {-7; 8-2; 1} = {-7; 6; 1} <--- este seria o resultado se "z" assumisse o valor "1".

E assim sucessivamente, encontrando-se o valor de cada incógnita em função do valor que "z" venha a assumir.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.