Encontre os valores de x para os quais existe:

É verdade que f(log(2 + √3)) é um número inteiro. O valor de f(x) = 52 é -0,7 ou 0,7.

a) Primeiramente, vamos reescrever a função f da seguinte forma:

f(x) = 10.10ˣ + 10.10⁻ˣ.

Agora, vamos calcular o valor de f(log(2 + √3)):

.

Veja que os logaritmos que estão nos expoentes possuem a mesma base do número nos quais eles estão elevados.

Isso quer dizer que:

f(log(2 + √3)) = 10.(2 + √3) + 10.(2 + √3)⁻¹

f(log(2 + √3)) = 10(2 + √3) + 10.1/(2 + √3)

f(log(2 + √3)) = 10(2 + √3 + 1/(2 + √3))

f(log(2 + √3)) = 10(2 + √3 + 2 - √3)

f(log(2 + √3)) = 20 + 10√3 + 20 - 10√3

f(log(2 + √3)) = 40.

Como 40 é um número inteiro, então mostramos que f(log(2 + √3)) ∈ Z.

b) Agora, vamos calcular o valor de f(x) = 52. Para isso, basta igualar a função f a 52:

10.10ˣ + 10.10⁻ˣ = 52

10.10ˣ.10ˣ + 10.10⁻ˣ.10ˣ = 52.10ˣ

10.(10ˣ)² + 10 - 52.10ˣ = 0.

Vamos fazer a substituição 10ˣ = y. Então:

10y² - 52y + 10 = 0

5y² - 26y + 5 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-26)² - 4.5.5

Δ = 676 - 100

Δ = 576

.

Se y = 5, então:

10ˣ = 5

log(10ˣ) = log(5)

x = log(10/2)

x = log(10) - log(2)

x = 1 - 0,3

x = 0,7.

Se y = 1/5, então:

10ˣ = 1/5

log(10ˣ) = log(1/5)

x = log(1) - log(5)

x = -log(10/2)

x = -0,7.

Para mais informações sobre logaritmo:

espero ter ajudado

Explicação passo-a-passo:

okkkk

Explicação passo-a-passo:

a vs7sts8atsjsss5esssgs7se

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá.

Veja,erika, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se: para que valores de "x" existe cada um das seguinte expressões logarítmicas, que vamos chamar, cada uma, de um certo "y" apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa:

i.a)

y = log₃ (x-2)

Agora veja: só existe logaritmos de números positivos (>0). Então, como condição de existência, deveremos impor que o logaritmando (x-2) deverá ser positivo (>0). Então, teremos que:

x - 2 > 0

x > 2 Esta é a condição de existência da expressão logarítmica do item "a". Ou seja, para que a expressão logarítmica original exista é necessário que "x" seja maior do que "2".

Realmente, se você for encontrar qual é a raiz dessa expressão, então vamos igualar "y" a "0", com o que ficaremos assim:

0 = log₃ (x-2) ou, o que é a mesma coisa:

log₃ (x-2) = 0 agora note: se você aplicar a definição de logaritmo, então o que temos aqui é a mesma coisa que:

3⁰ = x - 2 como "3⁰ = 1", teremos:

1 = x - 2 passando "-2" para o 1º membro, temos:

1 + 2 = x ou apenas:

3 = x ou, invertendo-se:

x = 3 <--- Veja que a raiz deu igual a "3" e está satisfazendo à condição de existência imposta de que "x" deveria ser maior do que "2". E "3" é, realmente, maior do que "2". Portanto, satisfeita a condição de existência imposta.

b)

y = log₀ˏ₅ (10-2x)

Como só existe logaritmos de números positivos, então vamos logo impor a condição de existência de que o logaritmando (10-2x) terá que ser positivo (maior do que zero). Logo, deveremos ter que:

10 - 2x > 0

-2x > - 10 multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos (lembre-se: quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda: o que era ">" passa pra "<" e vice-versa):

2x < 10

x < 10/2

x < 5 < Esta é a condição de existência da expressão logarítmica do item "b". Ou seja, a expressão só existirá se o valor de "x" for menor do que "5".

Realmente, se formos encontrar a raiz desta expressão logartítmica então igualaremos "y" a "0", ficando assim:

0 = log₀ˏ₅ (10-2x) aplicando a definição de logaritmo, temos que isto é a mesma coisa que:

(0,5)⁰ = 10-2x como (0,5)⁰ = 1, teremos:

1 = 10-2x passando "10" para o 1º membro, temos:

1 - 10 = - 2x desenvolvendo, temos:

-9 = - 2x multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:

9 = 2x vamos apenas inverter, ficando:

2x = 9

x = 9/2

x = 4,5 < Veja que "4,5" é realmente menor do que "5", o que atende à condição de existência anteriormente imposta para a expressão logarítmica do item "b".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Desculpa anjo eu não sei