Integral 0a2pi sqrt theta ^2+1 dtheta como calcular essa integral?

Resolvendo a integral dada pelo método da substituição trigonométrica, temos que o resultado da mesma é igual a:

Desejamos resolver a seguinte integral:

Vamos então fazer uma substituição trigonométrica, chamando então , temos que:

E com essa substituição, temos que os novos limites de integração são:

Com isso, temos que nossa integral fica da seguinte forma:

E sabemos que , sendo assim:

Logo, aquela raiz quadrada some ao ser cortada com o expoente, e com isso, temos que:

Essa integral pode ser facilmente calculada a partir do método de integração por partes, sendo:

Destarte, surge que:

Que também pode ser escrito da seguinte forma:

E pela propriedade de integração, temos que:

Como nossa integral é definida, logo:

E aplicando por fim o teorema fundamental do cálculo, chegamos em:

Que simplificando fica:

E portanto, esse é o resultado desta integral. Obrigado :D !