Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula P igual a numerador 5000 espaço x espaço 1 vírgula 013 à potência de n espaço x espaço 0 vírgula 013 sobre denominador parêntese esquerdo 1 vírgula 013 à potência de n menos 1 parêntese direito fim da fração

Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 335.

De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é

a) 12.
b) 14.
c) 15.
d) 16.
e) 17.

Alternativa correta: d) 16.

Conforme o problema, o valor máximo que a pessoa poderá pagar é R$ 400,00. Podemos representar matematicamente essa condição como:

Portanto, para encontrar o menor número de parcela, temos que resolver a inequação acima. Vamos então começar, passando o denominador para o outro lado da desigualdade:

65 . 1,013^n ≤ 400 . (1,013^n - 1)

65 . 1,013^n ≤ 400 . 1,013n - 400

400 ≤ 400 . 1,013^n - 65 . 1,013^n

400 ≤ 335 . 1,013^n

Como o valor que estamos procurando (n) está no expoente, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da desigualdade. Assim:

log 400 ≤ log (350 . 1,013^n)

O logaritmo da multiplicação é igual a soma dos logaritmos e que o logaritmo de uma potência é igual a multiplicação do expoente pelo logaritmo. Aplicando essas propriedades, temos:

log 400 ≤ log 350 + n . log 1,013

Substituindo os valores informados no problema para os logaritmos da desigualdade:

2,602 ≤ 2,525 + 0,005.n

2,602 - 2,525 ≤  0,005.n

n ≥ 15,4

Portanto, o número menor de parcelas terá que ser 16, visto que n tem que ser maior que 15,4.

resposta: 15 x 386,00

Explicação Com uma média de 65,845 de juros ao mês

65,845 x 12 = 790,14 + 5.000,00 =5.790,14 / 15

Respostas:

I ) e) ∛9

II ) d) 16

Explicação passo-a-passo:

I)

Lembramos a formula de mudança de base para logarítmos:

Com isso, segue que

log₉x = log₃x / log₃9 =  log₃x / 2

Assim temos

log₃x + log₃x/2 =1

log₃x = 2/3

x = 3^(2/3) = ∛9

resposta: e) ∛9

II )

Queremos descobrir para quais valores de n temos as prestações maiores que 400. Basta resolver a inequação:

Para ficar mais fácil de visualizar, vamos trocar 1,013 por A. Daí obtemos:

Como log na base 10 é crescente, podemos tomar os logaritmos na inequação acima preservando a desigualdade:

log (335 Aⁿ) < log 400

log 335 + n log A <  log 400

Substituindo os valores disponibilizados pela questão advém

2,525 + n*0,005 < 2,602

n*0,005 < 0,077

n <  15,4

Assim, parcelando em até 15 prestações compromete o orçamento, pois as parcelas terão valor superior a 400. Portanto, a resposta é d) 16