Qual a equação geral da elipse com focos F1(– 3, 0) e F2(3,0) e semieixo maior a = 4?

45x-28y+113=0 essa e a reposta

5x²+9y²+98x-36y-4=0

Explicação passo-a-passo:

√(x+1)² +(y-2)² + √(x-3)²+(y-2)²=6

√(x+1)² +(y-2)²  =6 -√(x-3)²+(y-2)², eleva ambos os membros ao quadrados.

(x+1)² +(y-2)²  =36 -12√(x-3)²+(y-2)² + (x-3)²+(y-2)², cancela (y-2)²

x²+2x+1 = 36 - 12√(x-3)²+(y-2)² + x²-6x+9 , cancelando x² e reduzindo fica:

8x-44= 12√(x-3)²+(y-2)², dividindo tudo por 4 fica:

2x-11= 3√(x-3)²+(y-2)², elevando novamente ao quadrado fica:

[2x-11]²= [3√(x-3)²+(y-2)²]²

4x² - 44x + 121 = 9[(x-3)² + (y-2)²]

4x² - 44x + 121 = 9(x² +6x + 9 + y² - 4y +4)

4x² - 44x + 121 = 9x² +54x + 81 +9y² - 36y +36

5x²+9y²+98x-36y-4=0

Eu conferi , mais só to com medo de ter errado em alguma sinal.

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O que é uma hipérbole?

Definição: Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e seja 2c a distância entre eles, hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cuja diferença (em módulo) das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).

Elementos de uma Hipérbole:

F1 e F2 → são os focos da hipérbole

O → é o centro da hipérbole

2c → distância focal

2a → medida do eixo real ou transverso

2b → medida do eixo imaginário

c/a → excentricidade

Existe uma relação entre a, b e c → c2 = a2 + b2

Equação reduzida da hipérbole

1º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo x.

Fica claro que nesse caso os focos terão coordenadas F1 (-c , 0) e F2( c , 0).

Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo x será:

2º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo y.

Neste caso, os focos terão coordenadas F1 (0 , -c) e F2(0 , c).

Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo y será:

Exemplo 1. Determine a equação reduzida da hipérbole com eixo real 6, focos F1(-5 , 0) e F2(5, 0).

Solução: Temos que

2a = 6 → a = 3

F1(-5, 0) e F2(5, 0) → c = 5

Da relação notável, obtemos:

c2 = a2 + b2 → 52 = 32 + b2 → b2 =25 – 9 → b2 = 16 → b = 4

Assim, a equação reduzida será dada por:

Exemplo 2. Encontre a equação reduzida da hipérbole que possui dois focos com coordenadas F2 (0, 10) e eixo imaginário medindo 12.

Solução: Temos que

F2(0, 10) → c = 10

2b = 12 → b = 6

Utilizando a relação notável, obtemos:

102 = a2 + 62 → 100 = a2 + 36 → a2 = 100 – 36 → a2 = 64 → a = 8.

Assim, a equação reduzida da hipérbole será dada por:

Exemplo 3. Determine a distância focal da hipérbole com equação  

Solução: Como a equação da hipérbole é do tipo  temos que

a2 = 16 e b2 =9

Da relação notável obtemos

c2 = 16 + 9 → c2 = 25 → c = 5

A distância focal é dada por 2c. Assim,

2c = 2*5 =10

Portanto, a distância focal é 10.

Explicação passo-a-passo: