Qual o centésimo termo da P. A. ( 5,3,1..)

Explicação passo-a-passo:

1°) para descobrirmos qual é o décimo quinto termo da PA, temos que usar a seguinte fórmula: an=a1+ (n-1)r, onde:

n é o termo que vai ser descoberto;

a1 é o primeiro termo da PA;

r é a razão.

Basta aplicar a fórmula agora: an=a1+ (n-1)r

a15= 4 +  ( 15 - 1 ) . 6

a15= 4 + 14 . 6

a15= 4 + 84

a15= 88

2°) an=a1+ (n-1)r

a10= 2 + ( 10 - 1 ) . 3

a10= 2 + 9 . 3

a10= 2 + 27

a10= 29

3°)an=a1+ (n-1)r

a100= 3 + ( 100 - 1 ) . 4

a100= 3 + 99 . 4

a100= 3 + 396

a100= 399

4°) an=a1+ (n-1)r

a75= 4 + ( 75 - 1 ) . 6

a75= 4 + 74 . 6

a75= 4 + 444

a75= 448

Explicação passo-a-passo:

PA; an = a1 + (n-1)r

1) a1 = 2

r = a2-a1 = 6-2 = 4

n = 100

a100 = 2 + (100-1)4

a100 = 2 + 99 * 4

a100 = 2 + 396

a100 = 398

2) a1 = 8

r = 7

n = 15

a15 = 8 + (15-1)7

a15 = 8 + 14 * 7

a15 = 8 + 98

a15 = 106

3) a1 = 16

r = 4

n = 33

a33 = 16 + (33-1)4

a33 = 16 + 32 * 4

a33 = 16 + 128

a33 = 144

4) a1 = 10

an = 70

n = 5

70 = 10 + (5-1)r

70 - 10 = 4r

60 = 4r

r = 60/4

r = 15

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (-4, -1, 2,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:-4

c)centésimo termo (a₁₀₀): ?

d)número de termos (n): 100 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 100ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do centésimo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem (ainda que negativos, aproximam-se do zero) e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = -1 - (-4) ⇒

r = -1 + 4 ⇒

r = 3    (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o centésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀₀ = -4 + (100 - 1) . (3) ⇒

a₁₀₀ = -4 + (99) . (3) ⇒         (Veja a Observação 2.)

a₁₀₀ = -4 + 297 ⇒

a₁₀₀ = 293

Observação 2:  Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

resposta: O centésimo termo da P.A.(-4, -1, 2 ...) é 293.

DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀₀ = 293 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o centésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

293 = a₁ + (100 - 1) . (3) ⇒

293 = a₁ + (99) . (3) ⇒

293 = a₁ + 297 ⇒    (Passa-se 297 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

293 - 297 = a₁ ⇒  

-4 = a₁ ⇔                 (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = -4                      (Provado que a₁₀₀ = 293.)

→Veja outras tarefas relacionadas à determinação de termos em progressão aritmética e resolvidas por mim:

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação dos problemas:

Da sequência (2, 5, 8, 11,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:2

c)centésimo termo (a₁₀₀): ?

d)número de termos (n): 100

e)Embora não se saiba o valor do centésimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e os termos solicitados igualmente serão maiores que zero.

(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 5 - 2 ⇒

r = 3   (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o centésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀₀ = 2 + (100 - 1) . (3) ⇒

a₁₀₀ = 2 + (99) . (3) ⇒         (Veja a Observação 2.)

a₁₀₀ = 2 + 297 ⇒

a₁₀₀ = 299

Observação 2:  Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

resposta: O centésimo termo da P.A.(2, 5, 8, 11,...) é 299.

DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀₀ = 299 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o centésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

299 = a₁ + (100 - 1) . (3) ⇒

299 = a₁ + (99) . (3) ⇒

299 = a₁ + 297 ⇒  (Passa-se 297 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

299 - 297 = a₁ ⇒  

2 = a₁ ⇔                (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 2                     (Provado que a₁₀₀ = 299.)

→Veja outras tarefas relacionadas à determinação de termos em progressão aritmética e resolvidas por mim:

r = a2 - a1

r = - 1 - (-4)

r = 3

an = a1 + ( n - 1 ) r

an = - 4 + ( 100 - 1 ) 3

an = - 4 + 99 * 3

an = - 4 + 297

r = a2 - a1

r = 5 - 2

r = 3

a100 = a1 + 99r

a100 = 2 + 99 * 3

a100 = 2 + 297