UFSC) - A soma das coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios dos lados do triângulo são M(-2,1), N(5,2) e P(2,-3), é:
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Explicação passo-a-passo:

Seja o triangulo de vértices A , B   e   C

considerando :

o ponto M (-2,1) ponto médio de AB

o ponto N(5, 2) o ponto médio de BC

o ponto P (2, -3) o ponto médio de AC

trabalhando com as coordenadas de A e B

(xa +xb)/2= -2    (xa +xb) = -4  (1)

(ya + yb ) /2= 1   (ya+yb) =2     (2)

trabalho com as coordenadas de A  e C

(xa+xc)/2=2 (xa+xc) = 4    (3)

(ya+yc)/2= -3(ya+yc= -6     (4)

trabalho com as coordenadas  B  e  C

(xb+xc)/2= 5 (xb+xc)= 10      (5)

(yb+yc)/2 =2     (yb+yc) = 4        (6)

agora temos 6 equações e 6 incógnitas.

agora somamos a equação (3) com a oposta da (1) temos:

xa+xc= 4

-xa-xb= 4  somando temos

 xc -xb = 8    agora somamos com a equação (5)

 xb +xc= 10

   2xc = 18

xc= 18/2

xc= 9

na equação (3) temos :

xa +xc= 4

xa= 4-xc

xa= 4-9

xa= -5

agora voltamos na equação (1)

xa+xb=-4

xb= -4 -xa

xb= -4-(-5)

xb=-4+5

xb= 1

agora somamos a equação (2) com a oposta da (4)

ya+yb=2

-ya-yc=6      somando temos

    yb -yc= 8    somamos com a (6)

     yb+yc= 4

      2yb= 12

yb= 6

agora voltamos na equação (6)

yc= 4- yb

yc= 4 - 6

yc= -2

agora voltamos na equação (2)

ya+yb=2

ya= 2-yb

ya= 2-6

ya= -4

agora temos as coordenadas dos pontos ABC

A(xa,ya) = (-5, -4)

B(xb, yb)= (1, 6)

C(xc, yc) = (9, -2)

soma A=  xa+ya= -5+-4= -9

soma B=  xb+yb= 1+6 = 7

soma C =xc+yc= 9+-2 = 7     ok !

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